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2018年成人高考复变函数试题及答案知识点复习考点归纳总结参考

2018-02-27 20:02:17

2007年成人高考专升本(大学语文)试题及答案
2007年成人高考专升本(大学语文)试题及答案2018年成人高考复变函数试题及答案知识点复习考点归纳总结参考

《复变函数》课程试卷一、单项抉择题(每题 2 分,共 20 分) 1. 以下命题准确的是 A. z  iz C. i  3i 2.若1 iB.零的辐角为零 D.对恣意双数 z 有 sin z  1 [ A ]x  1  i ( y  3)  1  i ,则 5  3iB. x  1, y  11 D. x  1, y  11 [ D ]A. x  1, y  11 C. x  1, y  113.设 f ( z )  u( x, y)  iv( x, y) 在区域 D 内解析,则 A. f ( z ) u v i x y u v i y yB. f ( z ) u v i x xC. f ( z ) D. f ( z ) u v i y x[B]4.下列说法准确的是 A.假设 f ( z0 ) 存在,则 f ( z ) 在 z0 处解析 B.假设 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 在区域 D 内可微,则 f ( z )  u( x, y)  iv( x, y) 在区域 D 内解析 C.假设 f ( z ) 在区域 D 内四处可导,则 f ( z ) 在区域 D 内解析 D.假设 f ( z ) 在区域 D 内解析,则 f ( z ) 在区域 D 内一定不解析 5.下列等式中不准确的是 A. Ln(1)  (2k  1) i ( k 为整数) C. ez  2 k i[ C]B. Lnz  Lnz  2 Lnz D. sin i  cos i  12 2 e z ( k 为整数)2 2[B]6.设 f (z) x axy  y A. a  2, b  1 C. a  2, b  1 i bx (2xy 2 y 2,则 ) 在复平面内四处解析(其中 a , b 为常数) B. a  1, b  2 D. a  1, b  2 [ C ]

7.设  为单位圆周 z  1,则积分 Im zdz 的值为A.  i C.  8.级数 A. z B.  i D.  [ D ] n! zn 1nnn的涵蓄圆为 B. z  e1 eC. z  1 9. z  0 是函数 f ( z)  z(ez 1) 的 A.一级零点 C.三级零点 10.设 f ( z )  A. 1 C.  1 二、填空题(每空 2 分,共 10 分) 11. Arg2D. z e 2[A ]B.二级零点 D.四级零点 [ C ]1 sin z , 则 Re s  f ( z),0  z5B.1 5![ D ]D. 01  3i  22    2 k 312.设  为包围 a 的任一简明闭曲线, n 为整数,则  ( z  a)1ndz 2 i 或 013. (1  i)i 的主值等于1  ln 2 ln 2 e 4 ( c o s i s i n ) 2 214.函数 e z 在 z  0 处的要紧部分为 在 z   处的要紧部分为 二、解答题 15.商榷函数 f ( z ) , 01 1 1     2 z 2! z n! z nRe z 在原点的延续性与可导性。

1 z解:令 f ( z )  u  iv, z  x  iy ,则 u x 1  x2  y 2,v  0

因 u , v 在 (0, 0) 处延续,故 f ( z ) 在 (0, 0) 处延续。

又 ux (0,0)  lim 不可导。

16.设 f ( z )  u( x, y)  iv( x, y) 在区域 D 内解析,且 u  v 。

试证 f ( z ) 在 D 内必为常数。

2x 0u(x,0)  u(0,0) x  lim  1  vy (0,0) ,故 f ( z ) 在 (0, 0) 处  x  0 x x(1  x2 )证:因 f ( z ) 在 D 内解析,故 ux  vy , u y  vx 已知等式两边分手对 x, y 求偏导,并用上式得:  2uu x  vx 2uu x  u y   (1  4u 2 )u x  0  u x  0  2 uu  v 2 uu  u  y y  y x  同理可得 uy  0  vx  vy  0 ,故 u , v 均为常数,进一步有 f ( z ) 在 D 内必为常数。

1 ez 17.计算积分 I  dz ,其中  为只是 0 和1 的任一简明闭曲线。

3  2 i  (1  z ) z 解:① z  0, z  1均在  的外部, f ( z ) ez 在  所围的闭区域上解析,故 I  0. (1  z ) z 3② z  0 在  外部, z  1 在  外部,由高阶导数公式1 2! I  2! 2 ie z (1  z ) 1  d 2 ez  5 dz   2  ,其中  充分小。

 3   z 2  dz 1  z  z 0 2 z ③ z  0 在  外部, z  1 在  外部,则I 1 2 i ez  ez z3 dz    z 3   e   z 1   z 1 z 1 5 e 2④ z  0, z  1均在  的外部,由多连通区域上的复合闭路定理得 I  18. (1)将函数 f ( z ) z 1 在圆环 1  z   内展为 Laurent 级数。

z ( z  1)2解: 1  z   1 1 zf ( z)  z 1 z 1 1 1  1 1 1   (  )   2  2 3 2 3  n 2 n 3 z ( z  1) z (1  1 z ) z z n 0 z z n 0 z或 f ( z) 1 2 2 1 2 2 1    2   2 z z z 1 z z z 1 1 z

 1 2 2  1 1 1     2   2 n 2 n 3 z z z n 0 z z n 0 z(2)求出函数 f ( z ) sin z  z 的奇点并判别它们的类型(包括无量远点) 。

z3f ( z) 1 z31 1 1 1   ( z  z 3  z 5  )  z     z 2    3! 5! 3! 5!  因此 z  0 为 f ( z ) 的可去奇点(不含负幂项) , z   为 f ( z ) 的的本性奇点(含无量多正幂 项) 。

19.应用留数计算实积分 1 xx sin x2dx zeiz   zeiz  xeix i dx  2 i Re s  , z  i   2 i   解:   2 2 1 x 1  z   2 z  z i e 故 1 xx sin x2dx  Reiee.20 .设 C 区域 D 内一条正向简明闭曲线, z0 为 C 内一点,假设 f ( z ) 在 D 内解析,且f ( z0 )  0, f ( z0 )  0 ,在 D 内 f ( z ) 无其它零点,试证:1 zf ( z ) dz  z0   2 i C f ( z )证:因 f ( z ) 以 z0 为一级极端,故 f ( z)  ( z  z0 ) ( z) ,  ( z0 )  0,  ( z) 在 z0 解析, ( z )  ( z  z0 ) ( z ) zf ( z ) z  ( z )  z   z f ( z) ( z  z0 ) ( z ) z  z0  ( z)故1 zf ( z ) 1 z 1 z ( z) dz  dz  dz  z0  0  z0       2 i C f ( z ) 2 i C z  z0 2 i C  ( z )