2016年高考数学模拟试题(全国新课标卷)

 时间:2015-08-15 15:33:53 贡献者:vitamin26

导读:2016 年高考模拟数学试题(全国新课标卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分 钟.第 Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每

2016年全国高考数学模拟试题(新课标2卷)
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2016 年高考模拟数学试题(全国新课标卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分 钟.第 Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. i 为虚数单位,复数 A. 2  iC. i  2 D.  i  2                2.等边三角形 ABC 的边长为 1 ,如果 BC  a, CA  b, AB  c, 那么 a  b  b  c  c  a 等 于 A.3i = 1 i B. 2  i3 2B. 3 2C.1 2yD. 1 21 1 3.已知集合 A  {x  Z || x 2  4 x | 4} , B  { y  N  |    } ,记 card A 为集合 A 的元素 8 2个数,则下列说法不正确 的是 ... A.card A  5 B.card B  3 C.card( A  B)  2 D.card( A  B)  54. 一个体积为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的侧 视图的面积为 A.6 3 B.8 C.8 3 D.12 5. 过抛物线 y  4 x 的焦点作直线交抛物线于点 P  x1 , y1  , Q  x2 , y2  两点, 若 x1  x2  6 ,2则 PQ 中点 M 到抛物线准线的距离为 A.5 B.4 C.3 D.2 6.下列说法正确的是 A.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 B.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 C.事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率大 D.事件 A、B 同时发生的概率一定比 A、B 中恰有一个 开始 发生的概率小 输入a0 , a1 , a2 , a3 , x0 7.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为 k  3, S  a3 A. a1  x0 (a3  x0 (a0  a2 x0 )) 的值 B. a3  x0 (a2  x0 (a1  a0 x0 )) 的值 C. a0  x0 (a1  x0 (a2  a3 x0 )) 的值 D. a2  x0 (a0  x0 (a3  a1 x0 )) 的值k 0是 否 输出S 结束k  k 1S  ak  S  x0理科数学试题 第 1 页(共 4 页)

1 n 8.若(9x- ) (n∈N*)的展开式的第 3 项的二项式系数为 36,则其展开式中的常数项为 3 x A.2521B.-2521 1C.84D.-841 9.若 S1=2 dx,S2=2(lnx+1)dx,S3=2xdx,则 S1,S2,S3 的大小关系为 x   A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S32 2C.S1<S3<S2D.S3<S1<S210.在平面直角坐标系中,双曲线x y   1 的右焦点为 F,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的 12 4直线 l 与双曲线 C 交于 A,B 两点。

若△FAB 的面识为 8 3 ,则直线 l 的斜率为 A.2 13 13B.1 2C.1 4D.7 711.已知三个正数 a,b,c 满足 a  b  c  3a , 3b2  a(a  c)  5b2 ,则以下四个命题正确 的是 p1:对任意满足条件的 a、b、c,均有 b≤c; p3: 对任意满足条件的 a、 b、 c, 均有 6b≤4a+c; A.p1,p3 B.p1,p4p2:存在一组实数 a、b、c,使得 b>c; p4: 存在一组实数 a、 b、 c, 使得 6b>4a+c. C.p2,p3 D.p2,p412.四次多项式 f ( x) 的四个实根构成公差为 2 的等差数列,则 f ( x ) 的所有根中最大根与 最小根之差是 A.2 B.2 3 C.4 D. 2 5理科数学试题 第 2 页(共 4 页)

第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题包括 4 小题,每小题 5 分. 13.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x y 2 30 4 40 5 6 8 . 60 t 70 根据上表提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为^ y=6.5x+17.5, 则表中 t 的值为π 14.已知函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0, ]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则 ω 的 2 取值集合为 . 15.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45° ,则 棱锥 S-ABC 的体积为 . 16.等比数列{an}中,首项 a1=2,公比 q=3,an+an+1+„+am=720(m,n∈N*,m>n), 则 m+n= . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在  ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,证明: (1) b cos C  c cos B  a ;cos A  cos B  (2) ab2sin 2 cC 2 .18. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC  A1 B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点. (1)求证:直线 AB1  平面A1 BD ; (2)求二面角 A  A1 D  B 的大小正弦值;19. (本小题满分 12 分) 对某交通要道以往的日车流量(单位:万辆)进行统计,得到如下记录:日车流量 x0 x55  x  1010  x  1515  x  2020  x  25x  250.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0 频率 将日车流量落入各组的频率视为概率,并假设每天的车流量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日车流量都不低于 10 万辆且另 1 天的日车流量 低于 5 万辆的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天时间里日车流量不低于 10 万辆的天数,求 X 的分布列和数学期 望.理科数学试题 第 3 页(共 4 页)

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:x2 y 2 3  2  1(a  b  0) 的焦距为 2 且过点 (1, ) . 2 2 a b(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若椭圆 C 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 F1 , F2 ,求该平行四边形面 积的最大值.21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x)  ax2  bx  c ln x , (其中 a , b, c 为实常数) (1)当 b  0, c  1时,讨论 f ( x) 的单调区间; (2)曲线 y  f ( x) (其中 a  0 )在点 (1 ,f (1)) 处的切线方程为 y  3x  3 , (ⅰ)若函数 f ( x) 无极值点且 f ' ( x) 存在零点,求 a , b, c 的值; (ⅱ)若函数 f ( x) 有两个极值点,证明 f ( x) 的极小值小于 -3 . 4请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图 AB 是圆 O 的一条弦,过点 A 作圆的切线 AD ,作BC  AC ,与该圆交于点 D ,若 AC  2 3 , CD  2 . (1)求圆 O 的半径; (2)若点 E 为 AB 中点,求证 O, E, D 三点共线.23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为  x  2 cos 2   y  sin 2( 是参数) ,以原点 O 为极1 . sin   cos 点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为   (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;(2)求曲线 C1 上的任意一点 P 到曲线 C2 的最小距离,并求出此时点 P 的坐标.24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲.设函数 f ( x) | 2 x  a | a .(1) 若不等式 f ( x) ≤ 6 的解集为 {x | 2 ≤ x ≤ 3} ,求实数 a 的值; n ) 恒成立,求实数 m 的取值范围. (2) 在(1)条件下,若存在实数 n ,使得 f (n) ≤m  f ( 理科数学试题 第 4 页(共 4 页)

2016 年高考模拟数学试题(全国新课标卷)参考答案一、选择题:本大题包括 12 小题,每小题 5 分。

1-12 BDAA BBCC ABCD 二、填空题: 1 2 4 3 14.{ , ,1} 15. 3 3 3 三、解答题: 17.证法一: (余弦定理法) 13. 50 (1) b cos C  c cos B  b 16.9a 2  b2  c2 a 2  c 2  b 2 2a 2 c  a 2ab 2ac 2aa 2  c2  b2 b2  c2  a 2  cos A  cos B 2ac 2bc  (2) ab ab ab 2  ac 2  a 3  a 2b  bc 2  b3 2ab  a 2  b 2  c 2   2abc(a  b) 2abc2sin 2a 2  c 2  b2 C 1 2ab  a 2  b2  c 2 2ac 2  1  cos C  ,所以等式成立  c c c 2abc证法二: (正弦定理法) (1)在  ABC 中由正弦定理得 b  2 R sin B, c  2 R sin C ,所以b cos C  c cos B  2 R sin B cos C  2 R sin C cos B  2 R sin( B  C )  2 R sin A  a(2)由(1)知 b cos C  c cos B  a , 同理有a c o sC c c o s A  b所以 b cos C  c cos B  a cos C  c cos A  a  b 即 c(cos B  cos A)  (a  b)(1  cos C)  (a  b)  2sin 2C 2所以cos A c o Bs  abC 2 s i 2n 2 c18. 解: (1)取 BC 中点 O ,连结 AO .  ABC 为正三角形, AO  BC 直棱柱ABC  A1 B1C1  平面ABC  平面BCC1 B1 且相交于 BC  AO  平面BCC1 B1取 B1C1 中点 O1 ,则 OO1 // BB1  OO1  BC 以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系 O  xyz ,理科数学试题 第 5 页(共 4 页)

则 B1,0,0, D1,1,0, A1 0,2, 3 , A 0,0, 3 , B1 1,2,0, C(1,0,0)  AB1  1,2, 3 , BD   2,1,0, BA1   1,2, 3, AB1  BD  0, AB1  BA 1 0 AB1  BD, AB1  BA1 . AB1  平面 A1BD .(2)设平面 A1 AD 的法向量为 n  x, y, z  . AD   1,1, 3 , AA . 1  0,2,0 n  AD, n  AA 1, x  y  3 z  0  2 y  0  由(1) AB   1,2, 3 为平面 A BD 的法向量.11令 z  1 得 n   3,0,1 为平面 A1 AD 的一个法向量. cos  n, AB1  6 . 4 10 . 4 所以二面角 A  A1 D  B 的大小的正弦值为19. 解: (Ⅰ)设 A1 表示事件“日车流量不低于 10 万辆”,A2 表示事件“日车流量低于 5 万辆”,B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日车流量不低于 10 万辆且另 1 天车流 量低于 5 万辆”.则 P(A1)=0.35+0.25+0.10=0.70, P(A2)=0.05, 所以 P(B)=0.7×0.7×0.05×2=0.049 (Ⅱ) X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率分别为0 P( X  0)  C3  (1  0.7)3  0.027, 1 P( X  1)  C3  0.7  (1  0.7)2  0.189,2 P( X  2)  C3  0.72  (1  0.7)  0.441,3 P( X  3)  C3  0.73  0.343.X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.027 0.189 0.441 因为 X~B(3,0.7),所以期望 E(X)=3×0.7=2.1. 3 0.343理科数学试题 第 6 页(共 4 页)

2c  2 a 2  b 2  2,  20. 解: (1)由已知可得  1 9 ,  2  2 1 4b a解得 a2=4,b2=3, 所以椭圆 C 的标准方程是yB A G F1 O F2xx2 y2  1. 4 3CD(2)由已知得: F 1F 2  2 ,由于四边形 ABCD 是椭圆的内接四边形, 所以原点 O 是其对称中心,且S ABCD  2S四边形ABF1F2 2 S AF1F2  S AF1B  2 S AF1F2  S BF1F2  F 1F 2  yA  yB   2 yA  yD ,当直线 AD 的斜率存在时,设其方程为 y  k  x 1 ,2 2 2 2 代入椭圆方程,整理得: 3  4k x  k x  4k  12  0 ,由韦达定理得: xA  xD  ∴  y A  yD   k2 28k 2 4k 2  12 , , x x  A D 3  4k 2 3  4k 22 2  k  xA  xD   4 xA xD     2 xA  xD 144k 2  k 2  13  4k  6,2 2,∴ S ABCD  2 y A  yD  2144k 2  k 2  1 3  4k 2 2 6 1 3  4k 8k 2  92 23  3  当直线 AD 的斜率不存在时,易得: A 1,  , D 1,   ,∴ S ABCD  2 yA  yD  6 , 2 2    综上知,符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是 6.1 2ax2  1 21. 解: (1)当 b  0, c  1时 f ' ( x)  2ax   , ( x  0) „„„1 分 x x' 当 a  0 时, f ( x)  0 很成立, f ( x) 在 (0,) 上是增函数;„„„2 分' 当 a  0 时,令 f ( x)  0 得 x 1 1 或x    (舍)„„„3 分 2a 2a' 令 f ( x)  0 得 0  x 1 1 ' ;令 f ( x)  0 得 x   2a 2a f ( x) 在上 (0, 1 1 ) 是增函数,在 (  ,) 上是减函数„„„4 分 2a 2a理科数学试题 第 7 页(共 4 页)

(2) (i) f ' ( x)  2ax  b  f (1)  0 c 由题得  , x  f ' (1)  3即a  b  0 b  a .  2a  b  c  3 c  3  a3  a 2ax2  ax  3  a  (ⅰ)由 x x则 f ( x)  ax2  ax  (3  a) ln x , f ' ( x)  2ax  a f ( x) 无极值点且 f ' ( x) 存在零点,得 a 2  8a(3  a)  0 (a  0)解得 a 8 8 1 ,于是 b   , c   . 3 3 3(ⅱ)由(i)知 f ' ( x) 2ax2  ax  3  a ( x  0) ,要使函数 f ( x) 有两个极值点,只要方 x程 2ax2  ax  3  a  0 有两个不等正根, 设两正根为 x1 , x 2 ,且 x 1  x 2 ,可知当 x  x2 时有极小值 f ( x2 ) .其中这里 0  x1  于对称轴为 x 21 ,由 41 1 1 ,所以  x 2  , 4 4 2且 2ax2  ax2  3  a  0 ,得 a 3 2 x2  x2  12ax2  ax  3  a ( x  0) , 要使函数 f ( x) 有两个极 x2【也可用以下解法: 由(Ⅱ)知 f ' ( x) 2 值点,只要方程 2ax  ax  3  a  0 有两个不等正根, a 2  8a(3  a)  0  8  那么实数 a 应满足 3  a  0 ,解得  a  3 , 3  a  0  2(2a) x2 a  a 2  8a(3  a) 1 1 24   9 4a 4 4 a8 1 1 24  a  3 0  9   1即  x 2  】 3 4 2 a2所以有 f ( x2 )  ax2  ax2  (3  a) ln x2理科数学试题 第 8 页(共 4 页)

 a ( x 2  x 2  ln x 2 )  3 ln x 2  3 ln x 2 23( x 2  x 2  ln x 2 ) 1 1 (  x2  ) 2 4 2 2 x2  x2  12而 f ' ( x2 ) 3(4 x2  1)(x2  x2  ln x2 ) (2 x2  x2  1) 222,1  x  1) , 4 1 (2 x  1)( x  1)  0 对 x  ( ,1] 恒成立, 有 g ' ( x)  4 x 1 1 又 g (1)  0 ,故对 x  ( , ) 恒有 g ( x)  g (1) ,即 g ( x)  0 . 4 2记 g ( x)  x 2  x  ln x , ( f ' ( x2 )  0 对于1 21 1 1 1  x 2  恒成立即 f ( x2 ) 在  ,  上单调递增, 4 2 4 2 3 . 4故 f ( x2 )  f ( )  22.解: (1) 取 BD 中点为 F ,连结 OF ,由题意知, OF / / AC , OF  AC  AC 为圆 O 的切线, BC 为割线  CA2  CD  CB ,由 AC  2 3, CD  2 , BC  6, BD  4, BF  2 在 RtOBF 中,由勾股定理得, r  OB  OF 2  BF 2  4 . (2) 由(1)知, OA / / BD, OA  BD 所以四边形 OADB 为平行四边形,又因为 E 为 AB 的中点, 所以 OD 与 AB 交于点 E ,所以 O, E , D 三点共线. 23.解:(1) 由题意知, C1 的普通方程为 ( x  1)2  y 2  1 C2 的直角坐标方程为 y  x  1 . (2) 设 P(1  cos 2 ,sin 2 ) ,则 P 到 C2 的距离 d 2  | 2  2 cos(2  ) | ,当 2 4 3 cos(2  )  1 ,即 2   2k (k  Z ) 时, d 取最小值 2  1 , 4 4 2 2 此时 P 点坐标为 (1  , ). 2 2 24.解:(1) 由 f ( x)  6 ,得 a  6  2 x  a  6  a( a  6) ,即其解集为 {x | a  3  x  3} ,由题意知 f ( x)  6 的解集为 {x | 2  x  3} ,所以 a  1 . (2) 原不等式等价于,存在实数 n ,使得 m  f ( n)  f (n) | 1  2n |  | 1  2n |  2 恒成立, 即 m |1  2n |  |1  2n | 2min ,而由绝对值三角不等式, |1  2n |  |1  2n | 2 , 从而实数 m  4 .理科数学试题 第 9 页(共 4 页)

 
 

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